Relations

Nous adoptons une écriture << analytique >> selon laquelle une relation élémentaire ( RE) r est un triplet :

$$r\equiv(x_1,x_2,x_3)$$

où x₁ et x₃ sont des entités positionnées :

$$x_1,x_3\in \mathit{Lp}\cup \mathit{Tp}\cup \mathit{Ap}$$

et x₂ est soit une entité positionnée, soit une primitive. L'ensemble des primitives dépend de l'application. Pour le formalisme une primitive est considérée comme une constante. Nous notons ${\cal P}$ l'ensemble de ces constantes. Dans un premier temps, et suivant le choix proposé dans [57, p.62] les primitives sont les suivantes :

$${\cal P}=\{\mathit{P_{attr}}, \mathit{P_{dat}}, \mathit{P_{be... ...loc}}, \mathit{P_{instr}}, \mathit{P_{fin}}, \mathit{P_{res}}\}$$

au sens de, dans l'ordre, attributif, datif, bénéfactif, ergatif, accusatif, locatif, instrumental, final et résultatif.

Donc, $x_2\in\mathit{Lp}\cup \mathit{Tp}\cup \mathit{Ap}\text{ ou } x_2\in{\cal P}$

L'ensemble des entités positionnées de r constitue l'ensemble ${\cal E}(r)$.

Un sous-ensemble de ces éléments constitue les éléments effectifs, ${\cal E}_f(r)$, de la relation. Si la SST, à laquelle appartient RE, est directement établie par l'utilisateur (donc RE est aussi directement définie par l'utilisateur), c'est ce dernier qui définit quels sont les éléments effectifs. Sinon, la RE est le produit d'une construction de SST (cf. 4.3.4) et ses éléments effectifs sont déterminés par l'opérateur de construction. Dans tous les cas, pour une relation élémentaire r :

$${\cal E}_f(r)\subseteq {\cal E}(r)=\{\text{entités positionnées de $r$}\}$$

Pour accéder aux différents éléments d'une relation nous définissons l'opérateur de projection, tel que :

$$\begin{array}{l} \pi_1(r)=x_1\\ \pi_2(r)=x_2\\ \pi_3(r)=x_3 \end{array}$$

Nous définissons aussi un opérateur de substitution symbolique (qui servira plus loin pour la construction d'une SST (cf. 4.3.4 et ). Il s'agit d'une substitution simple d'un élément effectif de la RE par une autre entité positionnée, e.g.

s_[x1/x']((x₁,x₂,x₃))=(x', x₂, x₃)

Par exemple, dans la fig.4.8 où l'₁ vient prendre la place de l₁, deux substitutions symboliques ont lieu :

$$\begin{array}{l} \mathbf{s}_{[{l_1}/{l'_1}]}((l_1,z_{14},l_4)\\ \mathbf{s}_{[{l_1}/{l'_1}]}((l_1,z_{13},l_3) \end{array}$$

Pour une RE r=(x₁, x₂, x₃), une entité positionnée $x\in \mathit{Lp}\cup \mathit{Tp}\in \mathit{Ap}$ et une entité positionnée $x'\in \mathit{Lp}\cup \mathit{Tp}\in \mathit{Ap}$ qui prendra la place de x, si x est un élément effectif de r (i.e. dans ${\cal E}_f(r)$), l'opération de substitution est définie comme suit :

s_[x/x']((x₁, x₂, x₃))=(x'₁, x'₂, x'₃)

où, pour j=1,2,3

$$x'_j = \left\{ \begin{array}{ll} x', & \text{si $x=x_j$ et $x\in{\cal E}_f(r)$}\\ x_j, & \text{sinon} \end{array}\right.$$

Bien entendu, après une substitution de $x\in{\cal E}_f(r)$ par x', donnant une RE r', l'ensemble ${\cal E}_f(r')$ est modifié par rapport à l'ensemble ${\cal E}_f(r)$ :

$${\cal E}_f(r')=({\cal E}_f(r)-{x})\cup{x'}$$